Peut-il exister un système formel capable de démontrer toutes les vérités arithmétiques tout en certifiant sa propre cohérence ? Gödel a montré que, sous des conditions précises, la réponse est non. Ce chapitre explore les théorèmes d’incomplétude, le codage des formules et des démonstrations par des nombres, ainsi que la construction d’un énoncé qui affirme essentiellement sa propre indémontrabilité. Le résultat ne signifie pas que les mathématiques sont incertaines ni que tout est relatif. Il affirme quelque chose de bien plus précis : tout système formel effectif, cohérent et suffisamment puissant pour exprimer l’arithmétique possède des limites internes qu’il ne peut éliminer en utilisant uniquement ses propres règles.

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Peut-il exister un programme capable d’analyser n’importe quel autre programme et de déterminer toujours s’il finira par s’arrêter ou continuera indéfiniment ? Alan Turing a démontré qu’un tel algorithme universel ne peut pas exister. Ce chapitre explore la machine de Turing, le calcul universel et le problème de l’arrêt, l’une des frontières fondamentales de l’informatique théorique. Grâce à une construction autoréférentielle, Turing a montré que certains problèmes ne sont pas simplement trop difficiles pour nos ordinateurs : aucun algorithme général ne peut résoudre tous leurs cas. La théorie qui a contribué à définir le calcul en a également révélé les limites.

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Un plus deux plus trois plus quatre, et ainsi de suite à l’infini, croît sans limite. Alors pourquoi voit-on si souvent cette série associée à −1/12 ? Ce chapitre explore la différence entre une série divergente et une valeur régularisée, de la sommation de Cesàro au prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann. Le célèbre −1/12 n’est pas la somme ordinaire des entiers positifs, mais le résultat d’une extension soigneusement définie d’une autre structure mathématique. Le paradoxe apparent disparaît dès qu’on pose la bonne question. Le problème n’était pas l’arithmétique, mais l’usage du mot « somme » sans préciser exactement quelle opération est effectuée.

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Quatre couleurs suffisent pour colorier n’importe quelle carte sans que deux régions voisines aient la même couleur. L’énoncé s’explique en quelques secondes ; sa démonstration a demandé plus d’un siècle. En 1976, Kenneth Appel et Wolfgang Haken ont obtenu une preuve reposant sur d’importants calculs informatiques. Ce chapitre revient sur la démonstration erronée de Kempe, les configurations réductibles et la stratégie qui a finalement résolu le problème, avant d’aborder une question plus délicate : que signifie vérifier une démonstration qu’aucun mathématicien ne peut contrôler entièrement à la main ? Le théorème des quatre couleurs a aussi transformé notre idée même de la preuve.

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Il y a autant de nombres pairs que de nombres naturels, même si les nombres pairs semblent n’en représenter que la moitié. Et ce n’est que le début. Ce chapitre explore la manière dont Georg Cantor a transformé l’infini en un objet mathématique que l’on peut comparer, ordonner et distinguer selon différentes tailles. Les naturels, les entiers et les rationnels partagent une même cardinalité, tandis que les nombres réels forment un infini strictement plus grand. Grâce aux correspondances bijectives et à l’argument diagonal de Cantor, une conclusion encore plus étrange apparaît : il n’existe ni un seul infini ni un plus grand infini. On peut toujours en construire un autre, plus vaste.

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Un barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. Alors, qui rase le barbier ? Derrière cette énigme très simple se cache une contradiction qui a ébranlé les fondements des mathématiques. Ce chapitre explore le paradoxe de Russell, les dangers d’une formation illimitée des ensembles et son impact sur le programme logique de Frege. La réponse ne fut pas d’abandonner la théorie des ensembles, mais de la reconstruire avec des règles beaucoup plus strictes. Parfois, une crise mathématique ne commence pas par une équation impossible, mais par une définition parfaitement claire qui se révèle trop dangereuse pour exister.

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Une courbe continue devrait finir par ressembler presque à une droite lorsqu’on l’agrandit suffisamment. Du moins, cela semblait raisonnable. Au XIXe siècle, des fonctions comme celle de Weierstrass ont montré le contraire : elles pouvaient être continues en tout point et dérivables nulle part. Ce chapitre explore comment ces objets apparemment monstrueux ont obligé les mathématiciens à séparer continuité et régularité, puis à reconstruire une partie de l’analyse sur des définitions beaucoup plus rigoureuses. Ce qui semblait être une anomalie révélait en réalité un problème plus profond : l’intuition avait attribué à la continuité des propriétés qu’elle n’avait jamais promises.

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Une phrase écrite dans la marge d’un livre a occupé les mathématiciens pendant plus de trois siècles. Fermat affirmait posséder une démonstration remarquable d’une équation étonnamment simple, mais ne l’a jamais rédigée. Ce chapitre retrace les tentatives d’Euler, de Sophie Germain et de Kummer, les démonstrations erronées qui ont révélé de nouveaux problèmes, puis le chemin inattendu vers les courbes elliptiques, les formes modulaires et Andrew Wiles. Même la démonstration annoncée en 1993 contenait une faille qui dut être corrigée. La preuve définitive régla le problème en 1995, tout en laissant intact un autre mystère : ce que Fermat pensait réellement pouvoir écrire si la marge avait été un peu plus grande.

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